Question

復(fù)數(shù)z=1-cosθ+isinθ（2π＜θ＜3π）的模為（　�。�

• A、2cos

  θ

  2

• B、-2cos

  θ

  2

• C、2sin

  θ

  2

• D、-2sin

  θ

  2

Answer 1

分析：法一：把復(fù)數(shù)的代數(shù)形式利用二倍角公式及誘導(dǎo)公式化為復(fù)數(shù)的三角形式，通過三角形式求復(fù)數(shù)的模．
法二：利用復(fù)數(shù)的模的定義直接列出式子，并利用三角公式化簡．

解答：解：方法一：復(fù)數(shù)z=1-cosθ+isinθ=1-（1-2sin2

θ

2

）+i•2sin

θ

2

cos

θ

2

=2sin

θ

2

[cos（

π

2

-

θ

2

）+isin（

π

2

-

θ

2

）]
=-2sin

θ

2

[cos（π+

π

2

-θ）+isin（π+

π

2

-θ）]．
∵2π＜θ＜3π，∴π＜

θ

2

＜

3π

2

，-π＜

π

2

-

θ

2

＜-

π

2

，∴0＜π+

π

2

-θ＜

π

2

，
∴sin

θ

2

＜0，-2sin

θ

2

＞0，
∴z=1-cosθ+isinθ（2π＜θ＜3π）的模為-sin

θ

2

，
故選 D．
方法二：|z|=|1-cosθ+isinθ|=

(1-cosθ)2+sin2θ

=

2-2cosθ

=

4sin2 θ 2

 
=2|sin

θ

2

|，
∵2π＜θ＜3π，∴π＜

θ

2

＜

3π

2

，∴sin

θ

2

＜0，-2sin

θ

2

＞0，
∴|z|=2|sin

θ

2

|=-2sin

θ

2

．
故選 D．

點評：本題考查復(fù)數(shù)的模的定義，利用三角公式及角的范圍、三角函數(shù)的符號來求復(fù)數(shù)的模．