Question

已知點(diǎn),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足.設(shè)圓的方程為

(I) 證明線段是圓的直徑;

(II)當(dāng)圓C的圓心到直線的距離的最小值為時(shí)，求P的值。

Answer 1

（I）證法一：

∴

即

整理得

∴......................12分

設(shè)點(diǎn)M（x,y）是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則

即

展開上式并將①代入得

故線段是圓的直徑。

證法二：

∴

即，

整理得

∴①……3分

若點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，則

去分母得

點(diǎn)滿足上方程，展開并將①代入得

所以線段是圓的直徑.

證法三：

∴

即，

整理得

∴

以為直徑的圓的方程是

展開，并將①代入得

所以線段是圓的直徑.

（Ⅱ）解法一：設(shè)圓的圓心為，則

，∴

又

∴

∴

∴

∴

所以圓心的軌跡方程為：

設(shè)圓心到直線的距離為，則

當(dāng)時(shí)，有最小值，由題設(shè)得

∴……14分

解法二：設(shè)圓的圓心為，則



∴

又

∴

∵ ∴…………9分

所以圓心得軌跡方程為…………11分

設(shè)直線與的距離為,則

因?yàn)?sub>與無公共點(diǎn).

所以當(dāng)與僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)到的距離最小，最小值為

∴

將②代入③，有

…………14分

解法三：設(shè)圓的圓心為，則

若圓心到直線的距離為，那么

∴

又

∴

∵ ∴

∴

當(dāng)時(shí)，有最小值時(shí)，由題設(shè)得

∴