已知函數(shù)f（x）＝2lnx+ax2－1（a∈R）

(Ⅰ)求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若a＝1，

（i）若不等式f（1+x）+f（1－x）＜m對任意的0＜x＜1恒成立，求m的取值范圍；

（ii）若x1，x2是兩個不相等的正數(shù)，且f（x1）+f（x2）＝0，求證x1+x2>2.

 (Ⅰ)f(x)的定義域為，，  令，，

  ①當時，在恒成立，f(x)遞增區(qū)間是； …….2分

  ②當時，,

又x>0,  遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.      ………4分

（Ⅱ）（ⅰ）

設,

   化簡得：, ,…6分

     ，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，

  所以，,即的取值范圍是       

（ⅱ），在上單調(diào)遞增,

①若，則與已知矛盾,

②若,則與已知矛盾,

③若，則，又，得與矛盾,

④不妨設，則由（Ⅱ）知當時,,

令，則,
又在上單調(diào)遞增，即 .     

證2：

,

設，則t>0，，,

令，得，在（0，1）單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增,

,又因為時,,不成立.

，.                              

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已知函數(shù)f（x）＝－＋x＋lnx，g（x）＝＋－x．

（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的零點的個數(shù)，并說明理由；

（Ⅱ）當x∈[－2，2]時，函數(shù)g（x）的圖像總在直線y＝a－的上方，求實數(shù)a的取值范圍．

 

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