Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）求曲線C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若曲線C向左平移一個(gè)單位，再經(jīng)過(guò)伸縮變換$\left\{{\begin{array}{l}{x'=2x}\\{y'=y}\end{array}}\right.$得到曲線C'，設(shè)M（x，y）為曲線C'上任一點(diǎn)，求$\frac{x^2}{4}-\sqrt{3}xy-{y^2}$的最小值，并求相應(yīng)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （I）由 $\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得曲線C的普通方程為（x-1）²+y²=1，再利用互化公式可得曲線C的極坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）（x-1）²+y²=1，向左平移一個(gè)單位再經(jīng)過(guò)伸縮變換$\left\{{\begin{array}{l}{x'=2x}\\{y'=y}\end{array}}\right.$，得到曲線C'的直角坐標(biāo)方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，設(shè)M（2cosα，sinα），代入$\frac{x^2}{4}-\sqrt{3}xy-{y^2}$化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（I）由 $\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）得曲線C的普通方程為（x-1）²+y²=1
得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．…（4分）
（Ⅱ）（x-1）²+y²=1，向左平移一個(gè)單位再經(jīng)過(guò)伸縮變換$\left\{{\begin{array}{l}{x'=2x}\\{y'=y}\end{array}}\right.$，
得到曲線C'的直角坐標(biāo)方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，設(shè)M（2cosα，sinα），
則$\frac{x^2}{4}-\sqrt{3}xy-{y^2}={cos^2}α-2\sqrt{3}sinacosα-{sin^2}a$=$cos2a-\sqrt{3}sin2α=2cos（2α+\frac{π}{3}）$…（7分）
當(dāng)$α=kπ+\frac{π}{3}$（k∈Z）時(shí)，$\frac{x^2}{4}-\sqrt{3}xy-{y^2}$的最小值為-2，
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為$（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$或$（-1，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程、橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用、倍角公式、和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．