Question

過(guò)△ABC內(nèi)部一點(diǎn)M任作一條直線EF，AD⊥EF于D，BE⊥EF于E，CF⊥EF于F，都有

AD

+

BE

+

CF

=

0

，則點(diǎn)M是△ABC的（　�。�

A．三條高的交點(diǎn)

B．三條中線的交點(diǎn)

C．三邊中垂線的交點(diǎn)

D．三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)

Answer 1

分析：設(shè)EF交AB，AC于G，H兩點(diǎn)，因?yàn)橐��?span id="gksm08g" class="MathJye">

AD

+

BE

+

CF

=0，只需要

BE

DA

+

CF

DA

=1（*），設(shè)

AH

=λ

AC

，

AG

=μ

AB

，
所以（*）化為

1-λ

λ

+

1-μ

μ

=1（**），只要（**）成立，這樣的M就滿足條件．由此入手能夠選出正確答案．

解答：解：設(shè)EF交AB，AC于G，H兩點(diǎn)，
因?yàn)橐��?span id="iqoguag" class="MathJye">

AD

+

BE

+

CF

=0，
只需要

BE

DA

+

CF

DA

=1（*），
設(shè)

AH

=λ

AC

，

AG

=μ

AB

，
所以（*）化為

1-λ

λ

+

1-μ

μ

=1（**），
只要（**）成立，
這樣的M就滿足條件．
因?yàn)镸在EF上，
所以

AM

=t

AG

+（1-t）

AH

=tλ

AB

+（1-t）μ

AC

，
當(dāng)M是三條中線的交點(diǎn)，
所以tλ=

1

3

，（1-t）μ=

1

3

，

1

λ

=3t，

1

μ

=3-3t，
容易驗(yàn)證此時(shí)（**）成立，
所以M是三條中線的交點(diǎn)時(shí)，可以滿足題目條件．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的五心的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量的靈活運(yùn)用．