Question

命題甲：“方程x2+

y2

m

=1是焦點在y軸上的橢圓”，
命題乙：“函數(shù)f(x)=

4

3

x3-2mx2+(4m-3)x-m=0在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增”，
這兩個命題有且只有一個成立，試求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓的標準方程可得：當(dāng)甲命題成立時實數(shù)m的取值范圍是m＞1，當(dāng)命題乙成立時，則有f′（x）=4x²-4mx+（4m-3）≥0在（-∞，+∞）上恒成立，即△=16m²-16（4m-3）≤0，解得：實數(shù)m的取值范圍是：1≤m≤3，進而得到當(dāng)兩個命題有且只有一個成立時實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：因為命題甲：“方程x2+

y2

m

=1是焦點在y軸上的橢圓”，
所以根據(jù)橢圓的標準方程可得：當(dāng)甲命題成立時實數(shù)m的取值范圍是m＞1，
因為命題乙：“函數(shù)f(x)=

4

3

x3-2mx2+(4m-3)x-m=0在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增”，
所以當(dāng)命題乙成立時，則有f′（x）=4x²-4mx+（4m-3）≥0在（-∞，+∞）上恒成立，即△=16m²-16（4m-3）≤0，
所以解得：實數(shù)m的取值范圍是：1≤m≤3，
所以當(dāng)兩個命題有且只有一個成立時則有：

m＞1 m＜1或m＞3

或者

m≤1 1≤m≤3

，
解得：m＞3或m=1．
所以 實數(shù)m的取值范圍為m=1或m＞3．

點評：本題主要是借助于判斷命題的真假來考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明、橢圓的簡單性質(zhì)等知識點，解決成立問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識，此題屬于基礎(chǔ)題．