Question

在正三棱錐S-ABC中，M，N分別是SB，SC的中點．若面AMN⊥面SBC，則二面角S-BC-A的平面角的余弦值為

6

6

．

Answer 1

分析：如圖，設(shè)D為BC中點，則 SD⊥BC，AD⊥SD，∠SDA二面角S-BC-A的平面角． 設(shè)底面邊長為2，側(cè)棱長為a，通過解三角形的方法，解得a=

3

，在△SAD中，由余弦定理求出∠SDA 的余弦值．

解答：解：設(shè)D為BC中點，則 SD⊥BC，SD⊥MN，垂足為E，E為MN中點．又面AMN⊥面SBC，則 SE⊥面AMN，SE⊥AE．
又AD⊥SD，∴∠SDA二面角S-BC-A的平面角
設(shè)底面邊長為2，側(cè)棱長為a，在△SBC中，SD²=a²-1，SE²=

1

4

SD²=

a2-1

4

，ME=

1

2

MN=

1

2

．
在△SAB中，由余弦定理，cos∠ASB=

SA2+SB2-AB2

2SB×SA

=

SA2+SM2-AM2

2SM×SA

，代入數(shù)據(jù)化簡得

a2-2

a2

=

5 4 a2-AM2

a2

，AM²=

a2

4

+2，
在△SAE中，由勾股定理，得出 SA²=AE²+SE²=AM²-ME²+E²，即a²=

a2

4

+2-

1

4

+

a2-1

4

，解得a²=3，a=

3

在△SAD中，由余弦定理，cos∠SDA=

SD2+AD2-SA2

2SD×AD

=

2+3-3

2× 2 × 3

=

6

6

故答案為：

6

6

．

點評：本題考查二面角角的計算，線面垂直，面面垂直的定義，性質(zhì)、判定，考查了空間想象能力、計算能力，分析解決問題能力．空間問題平面化是解決空間幾何體問題最主要的思想方法．