Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a，b，c．已知sinC+cosC+

2

sin

C

2

=1．
（1）求角C的大小；
（2）若a²+b²=6a+4

3

b-21，求△ABC外接圓半徑．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）已知等式移項后利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式變形，再利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間的基本關系求出sinC的值，即可確定出C的度數(shù)；
（2）已知等式利用完全平方公式變形，利用非負數(shù)的性質求出a與b的值，再利用余弦定理求出c的值，即可確定出外接圓半徑．

解答： 解：（1）∵sinC+cosC+

2

sin

C

2

=1，即sinC+

2

sin

C

2

=1-cosC=2sin²

C

2

，
整理得：2sin

C

2

cos

C

2

+

2

sin

C

2

=1-cosC=2sin²

C

2

，
∵sin

C

2

≠0，
∴2cos

C

2

+

2

=2sin

C

2

，即sin

C

2

-cos

C

2

=

2

2

，
兩邊平方得：（sin

C

2

-cos

C

2

）²=1-sinC=

1

2

，即sinC=

1

2

，
∵sin

C

2

-cos

C

2

=

2

2

＞0，
∴

π

4

＜

C

2

＜

π

2

，即

π

2

＜C＜π，
則C=

5π

6

；
（2）將a²+b²=6a+4

3

b-21，變形得：（a-3）²+（b-2

3

）²=0，
解得：a=3，b=2

3

，
∵cosC=-

3

2

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=9+12+18=39，即c=

39

，
則R=

c

2sinC

=

39

2× 1 2

=

39

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關鍵．