設(shè)a∈R，f(x)=
x
|x-a|
（1）若函數(shù)f（x）在[0，+∞）為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)a＞0，
（i）證明：函數(shù)F(x)=f(x)-
1
2
x有3個(gè)零點(diǎn)；
（ii）若存在實(shí)數(shù)t（t＞a），當(dāng)x∈[0，t]時(shí)函數(shù)f（x）的值域?yàn)?span id="vxk5gps" class="MathJye">[0，
t
2
]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用
專題：證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）對(duì)a討論，分a≤0，a＞0兩種，將絕對(duì)值去掉，求導(dǎo)數(shù)，從而判斷單調(diào)性；
（2）令F（x）=0則x=0或|x-a|=
1
2
x
，對(duì)后一個(gè)兩邊平方，轉(zhuǎn)化為二次方程，判斷它有兩個(gè)不同的正根即可；
（3）考慮函數(shù)y1=
x
（a-x）（0≤x≤a）的極大值點(diǎn)
a
3
，從而當(dāng)x∈[0，t]時(shí)，f（x）max=max{f（
a
3
），f（t）}，分別討論f（x）max=f（t）和f（x）max=f（
a
3
），得到不等式組，解出t的范圍，從而得出a的取值范圍．
解答： 解：（1）顯然x≥0，
當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）=
x
|x-a|=
x
（x-a），
f'（x）=
3
2
x
1
2
-
1
2
ax-
1
2
≥0，
所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，符合題意．
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=
x
(a-x)，(0≤x≤a)
x
(x-a)，(x＞a)
，
此時(shí)x=a為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，顯然不單調(diào)．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤0；
（2）若a＞0，
（i）即證明方程
x
|x-a|=
1
2
x有三個(gè)不同的實(shí)根，
可化為x=0或|x-a|=
1
2
x
  ①
①式可化為x2-（2a+
1
4
）x+a2=0，
設(shè)g（x）=x2-（2a+
1
4
）x+a2，
又因?yàn)間（0）=a2＞0，對(duì)稱軸x=a+
1
8
＞0，
且△=a+
1
16
＞0，
故g（x）=0有兩個(gè)不同的正根，
即函數(shù)F（（x）=f（x）-
1
2
x有3個(gè)零點(diǎn)；
（ii）由（i）知 函數(shù)y=f（x）與y=
1
2
x有3個(gè)交點(diǎn)，
y1=
x
（a-x）（0≤x≤a）的一個(gè)極大值點(diǎn)為x=
a
3
，
則當(dāng)x∈[0，t]時(shí)，f（x）max=max{f（
a
3
），f（t）}，
依題意有：（1）當(dāng)f（x）max=f（t）時(shí)，
則有
f(
a
3
)≤
t
2
f(t)=
t
2
 即
a
3
2a
3
≤
t
2
t
(t-a)=
t
2
，
由第二個(gè)式子得，a=t-
t
2
，代入第一式平方得：
16（t-
t
2
）3≤27t2，
即16（
t
-
1
2
）3-27
t
≤0，
得 16（
t
）3-24（
t
）2-15
t
-2=（
t
-2）（4
t
+1）2≤0，
得t≤4，所以a≤3，
又a＞0，綜上得：0＜a≤3．
（2）當(dāng)f（x）max=f（
a
3
）時(shí)，則有
f(
a
3
)=
t
2
f(t)≤
t
2
  即
a
3
2a
3
=
t
2
①
t
(t-a)≤
t
2
②

由①得a3=
27
16
t2，由②得：a≥t-
t
2
，
所以16（t-
t
2
）3≤27t2，同上有0＜a≤3，
綜上，符合題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍是：0＜a≤3．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用：求單調(diào)性、求極值、求最值，考查分類討論的思想方法，含參問題的求法，考查運(yùn)算和推理能力，是一道很好的綜合題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知復(fù)數(shù)方程
1+i
3i+z
=i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部為（　�。�
A、2B、4iC、-2D、-4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax-ex（a＞0）．
（1）若a=
1
2
，求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（2）當(dāng)1≤a≤e+1時(shí)，求證：f（x）≤x．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)(
2
，1)，(2，
3
3
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)（-1，0）的動(dòng)直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)M，使
MA
•
MB
為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，設(shè)拋物線C1：y2=4mx(m＞0)的準(zhǔn)線與x軸交于F1，且C1的焦 點(diǎn)為F2；以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，離心率e=
1
2
的橢圓C2與拋物線C1在x軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（Ⅰ）是否存在實(shí)數(shù)m，使得△PF1F2的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實(shí)數(shù)m，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（Ⅱ）若m=1，直線l經(jīng)過橢圓C2的右焦點(diǎn)F2，且與拋物線C1交于A1，A2，以線段A1A2為直徑作圓，若圓經(jīng)過點(diǎn)P，求直線l的斜率．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線l：x=my+1過橢圓C：，
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F，拋物線x2=4
3
y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，且直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l交y軸于點(diǎn)M，且
MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
，當(dāng)m變化時(shí)，λ1+λ2的值是否為定值？若是，求出這個(gè)定值，若不是，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A（0，2），且在x軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為4．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)A（0，2）作一條直線與曲線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，過E，F(xiàn)分別作曲線C的切線，兩切線交于P點(diǎn)，當(dāng)|PE|•|PF|最小時(shí)，求直線EF的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為S，acosC+
3
csinA-b-c=0．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a=
3
，求
3
3
S+
3
cosBcosC取最大值時(shí)S的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤
π
2
）與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)P、Q、R滿足P（2，0），∠PQR=
π
4
，M為QR的中點(diǎn)，PM=2
5
，則A的值為
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案