Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F₁，F(xiàn)₂在x軸上，離心率為．過F₁的直線交橢圓C于A，B兩點，且△ABF₂的周長為8．過定點M（0，3）的直線l₁與橢圓C交于G，H兩點（點G在點M，H之間）．
（Ⅰ） 求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l₁的斜率k＞0，在x軸上是否存在點P（m，0），使得以PG、PH為鄰邊的平行四邊形為菱形．如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用橢圓的離心率計算公式及其定義即可得到a，b，c，進而即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）設(shè)直線l₁的方程為y=kx+3（k＞0），與橢圓的方程聯(lián)立，由直線與橢圓由兩個不同的交點?△＞0，可得k的取值范圍，及其根與系數(shù)的關(guān)系；
“在x軸上是否存在點P（m，0），使得以PG、PH為鄰邊的平行四邊形為菱形．”等價于“在x軸上是否存在點P（m，0），使得PN⊥l₁”．即可得到用k表示m，利用導(dǎo)數(shù)即可得出取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，離心率，
△ABF₂的周長為|AF₁|+|AF₂|+|AF₁|+|AF₂|=4a=8，
解得a=2，c=1，則b²=a²-c²=3，
所以橢圓的方程為．
（Ⅱ）直線l₁的方程為y=kx+3（k＞0），
由，消去y并整理得（3+4k²）x²+24kx+24=0（*），
△=（24k）²-4×24×（3+4k²）＞0，解得，
設(shè)橢圓的弦GH的中點為N（x，y），
則“在x軸上是否存在點P（m，0），使得以PG、PH為鄰邊的平行四邊形為菱形．”等價于“在x軸上是否存在點P（m，0），使得PN⊥l₁”．
設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），由韋達定理得，x₁+x₂=，
所以x==，∴y=kx+3═，
∴，，
所以，，解得．
，
所以，函數(shù)在定義域單調(diào)遞增，，
所以滿足條件的點P（m，0）存在，m的取值范圍為．
點評：本題綜合考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與解題模式，需要較強的推理能力和計算能力．