Question

設(shè)正實數(shù)a，b，c滿足a+2b+c=1，則

1

a+b

+

9(a+b)

b+c

的最小值是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：通過代換轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可．

解答： 解：∵正實數(shù)a，b，c滿足a+2b+c=1，
令a+b=x＞0，b+c=y＞0，且x+y=1．
∴

1

a+b

+

9(a+b)

b+c

=

1

x

+

9x

y

，
由x+y=1可得y=1-x．
∴

1

x

+

9x

y

=

1

x

+

9x

1-x

=f（x）．（0＜x＜1）
∴f′（x）=-

1

x2

+

9(1-x)-9x•(-1)

(1-x)2

=

8x2+2x-1

x2(1-x)2

=

(2x+1)(4x-1)

x2(1-x)2

，
令f′（x）=0，解得x=

1

4

．
當(dāng)x∈(0，

1

4

)時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(

1

4

，1)時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．因此當(dāng)x=

1

4

時，函數(shù)f（x）取得最小值，f(

1

4

)=

1

1 4

+

9× 1 4

1- 1 4

=4+3=7．
∴

1

a+b

+

9(a+b)

b+c

的最小值是7．
故答案為：7．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值和轉(zhuǎn)化的方法，屬于難題．