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如圖,在正△ABC中,點D,E分別在邊AC, AB上,且AD=ACAE=AB,BD,CE相交于點F.

（Ⅰ）求證:A,E,F, D四點共圓；

（Ⅱ）若正△ABC的邊長為2,求A,E,F,D所在圓的半徑.

 

【答案】

(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ) .

【解析】

試題分析：(Ⅰ)根據圓內接四邊形判定定理，只需說明對角互補即可，由已知數量關系，可證明，故，所以，所以四點共圓；(Ⅱ)四邊形的外接圓問題 可轉化為其中三個頂點確定的外接圓問題解決，取的中點,連接則容易證

，則的外接圓半徑為，也是四邊形的外接圓半徑.

試題解析：(Ⅰ)證明:∵, ∴ , ∵在正中,  , ∴,

又∵,, ∴, ∴, 即,所以四點共圓.

(Ⅱ)解:如圖, 取的中點,連接,則, ∵, ∴,

∵,∴,又, ∴為正三角形, ∴,即, 所以點是外接圓的圓心,且圓G的半徑為2. 由于四點共圓,即四點共圓,其半徑為.

考點：1、三角形全等；2、圓內接四邊形判定定理.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在正△ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，且AD=
1
3
AC，AE=
2
3
AB，BD，CE相交于點F．
（Ⅰ）求證：A，E，F，D四點共圓；
（Ⅱ）若正△ABC的邊長為2，求，A，E，F，D所在圓的半徑．

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科目：高中數學 來源： 題型：

選修4-1：幾何證明選講如圖，在正△ABC中，點D，E分別在邊t上，且BD=
1
3
BC，CE=
1
3
CA，AD，BE相交于點P，
求證：
（1）P，D，C，E四點共圓；
（2）AP⊥CP．

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科目：高中數學 來源：2013屆河南省南陽市一中高三第八次周考理科數學試卷（帶解析） 題型：解答題

如圖，在正△ABC中，點D,E分別在邊AC, AB上，且AD=AC， AE= AB，BD，CE相交于點F。
（I）求證：A，E，F，D四點共圓；
（Ⅱ）若正△ABC的邊長為2，求，A，E，F，D所在圓的半徑．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年河南省南陽市高三第八次周考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，在正△ABC中，點D,E分別在邊AC, AB上，且AD=AC， AE= AB，BD，CE相交于點F。

（I）求證：A，E，F，D四點共圓；

（Ⅱ）若正△ABC的邊長為2，求，A，E，F，D所在圓的半徑．

 

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年黑龍江省哈師大附中高三（上）第二次月考數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

選修4-1：幾何證明選講如圖，在正△ABC中，點D，E分別在邊t上，且，AD，BE相交于點P，
求證：
（1）P，D，C，E四點共圓；
（2）AP⊥CP．

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