Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°．
（1）畫出四棱錐P-ABCD的正視圖，（要求標(biāo)出尺寸，并寫出演算過程）；
（2）若M為PA的中點(diǎn)，求證：DM∥面PBC；
（3）求三棱錐D-PBC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得，四邊形ADCE為矩形，AE=CD=3，BE=3，從而AB=6，PD⊥AD，由此能求出正視圖．
（2）取PB中點(diǎn)N，連接MN，CN，MN∥AB，四邊形MNCD為平行四邊形，由此能證明DM∥平面PBC．
（3）由V_D-PBC=V_P-DBC，利用等積法能求出三棱錐D-PBC的體積．

解答： （1）解：在梯形ABCD中，過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E．
由已知得，四邊形ADCE為矩形，AE=CD=3，
在Rt△BEC中，由BC=5，CE=4，
依勾股定理得BE=3，從而AB=6．
又由PD⊥平面ABCD，得PD⊥AD，
從而在Rt△PDA中，由AD=4，∠PAD=60°，得PD=4

3

．
由此得到正視圖如右圖所示．
（2）證明：取PB中點(diǎn)N，連接MN，CN．
在△PAB中，∵M(jìn)是PA中點(diǎn)，
∴MN∥AB，MN=

1

2

AB=3，
又CD∥AB，CD=3，
∴MN∥CD，MN=CD，
∴四邊形MNCD為平行四邊形，
∴DM∥CN．
又DM不包含于平面PBC，
CN?平面PBC，∴DM∥平面PBC．
（3）解：V_D-PBC=V_P-DBC=

1

3

S_△DBC•PD，
又S_△DBC=6，PD=4

3

，
所以V_D-PBC=8

3

．

點(diǎn)評：本題考查四棱錐P-ABCD的正視圖的作法，考查DM∥面PBC的證明，考查三棱錐D-PBC的體積的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．