Question

（本題滿分16分）

已知函數(shù),.

（Ⅰ）若函數(shù)在時(shí)取得極值，求的值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）當(dāng)a<-1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為，

函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.

【解析】解：（Ⅰ）

.            ……3分

依題意得, 經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.      ……6分

（Ⅱ），設(shè)，

（1）當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=-e，f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù).  ……8分

（2）當(dāng)a<0時(shí)，方程=0的判別式為，

令, 解得a=0（舍去）或a=-1.

1°當(dāng)a=-1時(shí)，，

即，

且f’(x)在x=-1兩側(cè)同號(hào)，僅在x=-1時(shí)等于，

則f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù).                ……10分

2°當(dāng)-1<a<0時(shí)，，則恒成立，

即f’(x)<0恒成立，則f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù).   ……11分

3°a<-1時(shí)，，令g(x)=0，

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

，

作差可知，

則當(dāng)時(shí)，g(x)<0，f’(x)<0，f(x)在上為單調(diào)減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，g(x)>0，f’(x)>0，

F(x)在上為單調(diào)增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，g(x)<0，f’(x)<0，f(x)在上為單調(diào)減函數(shù).  ……15分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為R；當(dāng)a<-1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為，，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.       ……16分

思路分析：第一問(wèn)利用依題意得, 經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

第二問(wèn)中，，設(shè)，

（1）當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=-e，f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù).  ……8分

（2）當(dāng)a<0時(shí)，方程=0的判別式為，

令, 解得a=0（舍去）或a=-1.

構(gòu)造函數(shù)討論單調(diào)性。