Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=lnx-ax²，x＞0．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若存在均屬于區(qū)間[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f（α）=f（β），證明

ln3-ln2

5

≤a≤

ln2

3

．

Answer 1

分析：（I）由f′(x)=

1

x

-2ax=

1-2ax2

2

，x∈(0，+∞)，令f′（x）=0，解得x=

2a

2a

，列表討論能求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間．
（II）由f（α）=f（β）及（I）的結(jié)論知α＜

2a

2a

＜β，從而f（x）在[α，β]上的最小值為f（a）．由β-α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．由此能夠證明

ln3-ln2

5

≤a≤

ln2

3

．

解答：（I）解：f′(x)=

1

x

-2ax=

1-2ax2

2

，x∈(0，+∞)，
令f′（x）=0，解得x=

2a

2a

，
當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	(0， 2a 2a )	2a 2a	( 2a 2a ，+∞)
f'（x）	+	0	-
f（x）	↑	極大值	↓

所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，

2a

2a

)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(

2a

2a

，+∞)．
（II）證明：由f（α）=f（β）及（I）的結(jié)論知α＜

2a

2a

＜β，
從而f（x）在[α，β]上的最小值為f（a）．
又由β-α≥1，α，β∈[1，3]，
知1≤α≤2≤β≤3．
故

f(2)≥f(a)≥f(1) f(2)≥f(β)≥f(3)

，
即

ln2-4a≥-a ln2-4a≥ln3-9a

，
從而

ln3-ln2

5

≤a≤

ln2

3

．

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法和利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．