Question

如圖，拋物線C：x²=2py與圓O：x²+y²=1在第一象限的交點為Q，圓O和拋物線C在點Q處的切線的斜率分別為k₁，k₂，若k₁+k₂=1，則p=

 

．

Answer 1

考點：圓與圓錐曲線的綜合

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設Q（m，n），則圓O在Q處的切線方程為mx+ny=1，則k₁=-

m

n

，求導數(shù)可得k₂=

m

p

，利用k₁+k₂=1，可得-

m

n

+

m

p

=1，
結合m²=2pn，m²+n²=1，即可求出p的值．

解答： 解：設Q（m，n），則圓O在Q處的切線方程為mx+ny=1，則k₁=-

m

n

，
∵拋物線C：x²=2py，∴y′=

x

p

，∴k₂=

m

p

，
∵k₁+k₂=1，
∴-

m

n

+

m

p

=1，
∵m²=2pn，m²+n²=1，
∴p=

2

4

，m=n=

2

2

，
故答案為：

2

4

．

點評：本題考查圓與圓錐曲線的綜合，考查切線斜率的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．