Question

已知l₁、l₂是曲線C：y=

1

x

的兩條互相平行的切線，則l₁與l₂與的距離的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：首先設(shè)出兩切點(diǎn)，求出導(dǎo)數(shù)，求出斜率，寫出兩切線方程，運(yùn)用兩平行直線的距離公式化簡整理，再運(yùn)用基本不等式即可求出最大值，注意等號成立的條件．

解答： 解：設(shè)l₁，l₂與曲線相切的切點(diǎn)分別是P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
則y₁=

1

x1

，y₂=

1

x2

，
又y′=（

1

x

）′=-

1

x2

，
∵l₁∥l₂，∴-

1

x12

=-

1

x22

，∴x₂=-x₁，
∴l(xiāng)₁：y-y₁=-

1

x12

（x-x₁）即y=-

1

x12

x+

2

x1

，
l₂：y-y₂=-

1

x22

（x-x₂）即y=-

1

x12

x-

2

x1

，
∴由兩平行線的距離公式得，d=

4 |x1|

1+ 1 x14

=

4

x12+ 1 x12

≤

4

2

=2

2

．當(dāng)且僅當(dāng)x12=

1

x12

即x₁=±1時(shí)，d取得最大值2

2

．
故答案為：2

2

．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是求切線方程的關(guān)鍵，同時(shí)考查兩平行直線的距離公式及基本不等式的運(yùn)用，熟記這些公式是迅速解題的前提．