Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（≥2，且n∈N^*）
（1）求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設數(shù)列{a_n}的前n項之和S_n，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用a_n=2a_n-1+2ⁿ（≥2，且n∈N^*），兩邊同除以2ⁿ，即可證明數(shù)列{}是等差數(shù)列；
（2）求出數(shù)列{}的通項，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）先錯位相減求和，再利用放縮法，即可證得結(jié)論．
解答：（1）證明：∵a_n=2a_n-1+2ⁿ（≥2，且n∈N^*）
∴
∴
∴數(shù)列{}是以為首項，1為公差的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）得
∴a_n=；
（3）解：∵S_n=++…+
∴2S_n=++…+
兩式相減可得-S_n=1+2²+2³+…+2ⁿ-=（3-2n）•2ⁿ-3
∴S_n=（2n-3）•2ⁿ+3＞（2n-3）•2ⁿ
∴．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式及前n項和，考查不等式的證明，考查構造法的運用，確定數(shù)列的通項，正確求和是關鍵．