Question

已知圓F₁：（x+1）²+y²=16，定點F₂（1，0），動圓M過點F₂且與圓F₁相內(nèi)切。
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）若過原點的直線l與（1）中的曲線C交于A，B兩點，且△ABF₁的面積為，求直線l的方程。

Answer 1

解：（1）由題意可知：|MF₂|為動圓M的半徑
根據(jù)兩圓相內(nèi)切的性質(zhì)得：4-|MF₂|=|MF₁|，即|MF₁|+|MF₂|=4
所以點M的軌跡C是以F₁、F₂為左、右焦點的橢圓，
設(shè)其方程為（a>b>0）
則2a=4，c=1，
故b²=a²-c²=3，
所以點M的軌跡C的方程為。
（2）當(dāng)直線l為y軸時，=，不合題意
故直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y=kx，A（x₁，y₁），y₁>0，則B（-x₁，-y₁），
由△ABF₁的面積為知：，所以y₁=，x₁=±，
即點A的坐標(biāo)為或
所以直線l的斜率為±
故所求直線l的方程為x±2y=0。