分析:(Ⅰ)取BC中點D,連接AD,B
1D,C
1D,證明AD∥平面A
1C
1C,B
1D∥平面A
1C
1C,可得平面ADB
1∥平面A
1C
1C,從而可證AB
1∥平面A
1C
1C;
(Ⅱ)建立如圖所示的坐標(biāo)系,求出平面A
1C
1C的一個法向量
=(1,-1,1),
=(-2,2,0),利用向量的夾角公式,即可求得BC與平面A
1C
1C所成角的正弦值.
解答:(Ⅰ)證明:取BC中點D,連接AD,B
1D,C
1D.
因為
B1C1BC,所以B
1C
1DB是平行四邊形,
所以
C1DB1B.
又
A1AB1B,∴
A1AC1D,
所以A
1ADC
1是平行四邊形
所以A
1C
1∥AD,所以AD∥平面A
1C
1C;
同理,B
1D∥平面A
1C
1C;
又因為B
1D∩AD=D,所以平面ADB
1∥平面A
1C
1C;
因為AB
1?平面ADB
1,
所以AB
1∥平面A
1C
1C; …(6分)
(Ⅱ)解:因為AB=AC,BC=
AB,所以AB
2+AC
2=BC
2,所以AB⊥AC
∵二面角A
1-AB-C是直二面角,且四邊形AA
1B
1B是正方形
∴AA
1⊥平面ABC,
建立如圖所示的坐標(biāo)系,
設(shè)AB=2,則A(0,0,0),B(0,2,0),A
1(0,0,2),C(2,0,0),C
1(1,1,2)
∴
=(1,1,0),
=(2,0,-2)
設(shè)平面A
1C
1C的一個法向量為
=(x,y,1)由
,可得
,∴可取
=(1,-1,1)∵
=(-2,2,0),∴cos
<,>=
=
=-
∴BC與平面A
1C
1C所成角的正弦值為
.
點評:本題考查線面平行,考查面面平行,考查線面角,考查利用空間向量解決線面角問題,確定平面的法向量是關(guān)鍵.