已知向量
m
=(sinA，cosA)，
n
=(1，-2)，且
m
•
n
=0．
（1）求tanA的值；
（2）求函數(shù)f(x)=2
3
(1-2sin2x)+tanAsin2x的最大值和單調遞增區(qū)間．
分析：（1）利用向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的商數(shù)關系即可得出；
（2）利用（1）的結論和倍角公式、兩角和差的正弦公式即可化為f（x）=4sin(2x-
π
3
)，再利用周期公式和正弦函數(shù)的單調性即可得出．
解答：解：（1）∵向量
m
=(sinA，cosA)，
n
=(1，-2)，且
m
•
n
=0．
∴sinA-2cosA=0，
∵cosA≠0，∴tanA=2．
（2）函數(shù)f(x)=2
3
(1-2sin2x)+tanAsin2x=-2
3
cos2x+2sin2x
=4(
1
2
sin2x-
3
2
cos2x)
=4sin(2x-
π
3
)．
∴當sin(2x-
π
3
)=1，即2x-
π
3
=2kπ+
π
2
，x=kπ+
5π
12
（k∈Z）時，f（x）取得最大值為4；
由2kπ-
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
π
2
，解得kπ-
π
12
≤x≤kπ+
5π
12
（k∈Z）．
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為[kπ-
π
12
，kπ+
5π
12
](k∈Z)．
點評：熟練掌握三角函數(shù)的單調性、周期性、兩角和差的正弦余弦公式、商數(shù)關系、向量的數(shù)量積等是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，若
m
⊥
n
，則sin2θ的值為
 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinωx，cosωx)，
n
=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，設函數(shù)f(x)=
m
•
n
且f（x）的最小正周期為π．
（1）求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）先將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，然后將圖象向下平移
1
2
個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間上[0，
3π
4
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，當θ∈[0，π]時，函數(shù)f(θ)=
m
•
n
的值域是
[-1，2]
[-1，2]
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•上海二模）已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
)，sinx)，
n
=（1，sinx），f（x）=
m
•
n
．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期及單調遞減區(qū)間；
（2）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若f（
B
2
）=
2
+1
2
，b=
5
，c=
3
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知向量
m
=(sin 
A
2
，cos 
A
2
)，
n
=(cos 
A
2
，-cos 
A
2
)，且2
m
•
n
+|
m
|=
2
2
，
AB
•
AC
=1．
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面積．

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