Question

（理科）若正四面體S-ABC的底面△ABC內(nèi)有一動點P分別到面SAB，面SBC，面SAC的距離成等差數(shù)列，則點P的軌跡正確的是    ；
（1）一條線段        
（2）一個點       
（3）一段圓弧       
（4）拋物線的一段．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)正四面體棱長為1，由于P到面SAB、面SBC、面SAC的距離成等差數(shù)列，可算出點P到平面SBC的距離等于（定值），因此點P在與平面SBC平行且距離為的平面α內(nèi)，說明P在平面ABC與平面α的交線上，由此可得本題答案．
解答：解：連接PA、PB、PC、PS，設(shè)P在平面SBC、平面SAC和平面SAB的射影
分別為F、G和H，連接PF、PG、PH
設(shè)正四面體棱長為1，可得它的體積為
V=×S_△ABC×h=××=
∵PH、PF、PG成等差數(shù)列，
∴設(shè)PH=PF-x，PG=PF+x（x＜PF），得
V_P-ABS=×S_△ABS×PH=（PF-x），
V_P-BCS=×S_△BCS×PH=PF，V_P-ACS=×S_△BCS×PH=（PF+x）
由此可得（PF-x）+PF+（PF+x）=，化簡可得PF=
所以動點P到平面SBC的距離為（定值），
得P在與平面SBC平行且距離為的平面內(nèi)，設(shè)這個平面為α
∴點P在平面ABC與平面α的交線上，可得P在△ABC內(nèi)的軌跡是一條線段
故答案為：（1）
點評：本題給出正四面體底面ABC內(nèi)滿足特殊條件的點P，求點P的軌跡曲線，著重考查了正四面體的性質(zhì)、等差數(shù)列的應(yīng)用和軌跡的求法等知識，屬于基礎(chǔ)題．