【題目】已知函數(shù).

（1）①求證：當任意取值時，的圖像始終經(jīng)過一個定點，并求出該定點坐標；

②若的圖像在該定點處取得極值，求的值；

（2）求證：當時，函數(shù)有唯一零點.

【答案】（1）①見解析，定點的坐標為；②（2）見解析

【解析】

（1）①由可得，所以的圖象始終經(jīng)過一個定點；②對函數(shù)求導，利用函數(shù)在此定點處有極值，導函數(shù)值等于零列方程求解即可；

（2）可知已經(jīng)有零點1，只需要證明函數(shù)再無其它零點即可，當時，，在時無零點；當，且時，，所以，在時也無零點.

（1）①由可得，，

所以的圖像始終經(jīng)過一個定點的坐標為；

②因為，

因為的圖像在該定點處取得極值，所以，所以，

當時，，滿足：在左右側(cè)異號，

所以符合題意；

（2）因為，所以已經(jīng)有一個零點1，

下面只需要證明函數(shù)在無其它零點了.

因為且時，，

所以在時無零點，

因為，

當，且時，，所以，

所以在時遞增，所以當時，

所以在時也無零點，

所以時，有唯一零點1.

練習冊系列答案
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【題目】已知橢圓： 經(jīng)過點，焦距為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線與橢圓交于不同的兩點、，線段的垂直平分線交軸交于點，若，求的值.

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【題目】在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，點A的極坐標為，直線l的極坐標方程為

（1）求直線l的直角坐標方程與曲線C的普通方程；

（2）若B是曲線C上的動點，G為線段的中點.求點G到直線l的距離的最大值.

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【題目】已知是拋物線的焦點，點在軸上，為坐標原點，且滿足，經(jīng)過點且垂直于軸的直線與拋物線交于、兩點，且.

（1）求拋物線的方程；

（2）直線與拋物線交于、兩點，若，求點到直線的最大距離.

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【題目】如圖，在四棱錐中，，，且，

（1）證明：平面平面．

（2）若為側(cè)棱的中點，求二面角的正弦值．

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【題目】已知橢圓：，，為橢圓的左、右頂點，橢圓的右焦點為，橢圓的離心率為.

（1）設(shè)直線與橢圓交于，兩點，且，求的值；

（2）設(shè)過點且斜率為1的直線與橢圓交于，（其中，分別在軸的上、下方）兩點，當時，記、的面積分別為、，求的最小值，并求此時橢圓的標準方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線，曲線（為參數(shù)），以坐標原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求，的極坐標方程；

（2）射線l的極坐標方程為，若l分別與，交于異于極點的，兩點，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2020年春節(jié)期間，全國人民都在抗擊“新型冠狀病毒肺炎”的斗爭中.當時武漢多家醫(yī)院的醫(yī)用防護物資庫存不足，某醫(yī)院甚至面臨斷貨危機，南昌某生產(chǎn)商現(xiàn)有一批庫存的醫(yī)用防護物資，得知消息后，立即決定無償捐贈這批醫(yī)用防護物資，需要用A、B兩輛汽車把物資從南昌緊急運至武漢.已知從南昌到武漢有兩條合適路線選擇，且選擇兩條路線所用的時間互不影響.據(jù)調(diào)查統(tǒng)計2000輛汽車，通過這兩條路線從南昌到武漢所用時間的頻數(shù)分布表如下：

所用的時間（單位：小時）

路線1的頻數(shù)

200

400

200

200

路線2的頻數(shù)

100

400

400

100

假設(shè)汽車A只能在約定交貨時間的前5小時出發(fā)，汽車B只能在約定交貨時間的前6小時出發(fā)（將頻率視為概率）.為最大可能在約定時間送達這批物資，來確定這兩車的路線.

（1）汽車A和汽車B應(yīng)如何選擇各自的路線.

（2）若路線1、路線2的“一次性費用”分別為3.2萬元、1.6萬元，且每車醫(yī)用物資生產(chǎn)成本為40萬元（其他費用忽略不計），以上費用均由生產(chǎn)商承擔，作為援助金額的一部分.根據(jù)這兩輛車到達時間分別計分，具體規(guī)則如下（已知兩輛車到達時間相互獨立，互不影響）：

到達時間與約定時間的差x（單位：小時）

該車得分

0

1

2

生產(chǎn)商準備根據(jù)運輸車得分情況給出現(xiàn)金排款，兩車得分和為0，捐款40萬元，兩車得分和每增加1分，捐款增加20萬元，若汽車A、B用（1）中所選的路線運輸物資，記該生產(chǎn)商在此次援助活動中援助總額為Y（萬元），求隨機變量Y的期望值，（援助總額一次性費用生產(chǎn)成本現(xiàn)金捐款總額）

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【題目】新高考方案規(guī)定，普通高中學業(yè)水平考試分為合格性考試（合格考）和選擇性考試（選擇考）.其中“選擇考”成績將計入高考總成績，即“選擇考”成績根據(jù)學生考試時的原始卷面分數(shù)，由高到低進行排序，評定為A，B，C，D，E五個等級.某試點高中2019年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)是2017年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)的2倍，為了更好地分析該校學生“選擇考”的水平情況，統(tǒng)計了該校2017年和2019年“選擇考”成績等級結(jié)果，得到如圖表：

針對該�！斑x擇考”情況，2019年與2017年比較，下列說法正確的是( )

A.獲得A等級的人數(shù)不變B.獲得B等級的人數(shù)增加了1倍

C.獲得C等級的人數(shù)減少了D.獲得E等級的人數(shù)不變

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