Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，首項(xiàng)為a₁，且

1

2

，a_n，S_n成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a_n²=（

1

2

）^b_n，設(shè)c_n=

bn

an

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知2an=Sn+

1

2

，an＞0，當(dāng)n=1時(shí)，得a₁=

1

2

；當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=2an-

1

2

，Sn-1=2an-1-

1

2

，兩式相減得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由

a

2 n

=2-bn=22n-4，知b_n=4-2n，故Tn=

8

2

+

0

22

+

-8

23

+…

24-8n

2n-1

+

16-8n

2n

，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題意知2an=Sn+

1

2

，an＞0，…（1分）
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=a₁+

1

2

，解得a₁=

1

2

，
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=2an-

1

2

，Sn-1=2an-1-

1

2

，
兩式相減得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1…（3分）
整理得：

an

an-1

=2…（4分）
∴數(shù)列{a_n}是以

1

2

為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
∴an=a1•2n-1=

1

2

×2n-1=2n-2．…（5分）
（Ⅱ）

a

2 n

=2-bn=22n-4
∴b_n=4-2n，…（6分）
∴Cn=

bn

an

=

4-2n

2n-2

=

16-8n

2n

Tn=

8

2

+

0

22

+

-8

23

+…

24-8n

2n-1

+

16-8n

2n

…①

1

2

Tn=

8

22

+

0

23

+…+

24-8n

2n

+

16-8n

2n+1

…②
①-②得

1

2

Tn=4-8(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

16-8n

2n+1

…（9分）

=4-8• 1 22 (1- 1 2n-1 ) 1- 1 2 - 16-8n 2n+1 =4-4(1- 1 2n-1 )- 16-8n 2n+1

=

4n

2n

．…（11分）
∴Tn=

8n

2n

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意迭代法和錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．