Question

已知離心率為

1

2

的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0），M、N分別是直線x=

a2

c

上的兩上動(dòng)點(diǎn)，且

F1M

•

F2N

=0，|

MN

|的最小值為2

15

．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過(guò)定點(diǎn)P（m，0）的直線交橢圓于B、E兩點(diǎn)，A為B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)（A、P、B不共線），問(wèn)：直線AE是否會(huì)經(jīng)過(guò)x軸上一定點(diǎn)，并求AE過(guò)橢圓焦點(diǎn)時(shí)m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由e=

1

2

得a=2c，得

a2

c

=4c，利用

F1M

•

F2N

=0求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)與c之間的關(guān)系，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|MN|的表達(dá)式，進(jìn)而利用其最小值求出橢圓方程；
（Ⅱ）先把直線PB方程與橢圓方程聯(lián)立，求出B、E兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的等式并表示出直線AE的方程，令y=0得x，看此時(shí)求出的x的值是否為定值即可，再利用AE過(guò)橢圓焦點(diǎn)即可求m的值．

解答：解：（Ⅰ）由e=

1

2

得a=2c，于是

a2

c

=4c，
設(shè)M（4c，y₁），N（4c，y₂），
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

F1M

•

F2N

=0，所以15c²+y₁y₂=0，所以y₁y₂=-15c²＜0，
∴|

MN

|=

(y1-y2) 2

=

y12+y22-2y1y2

=

y12+y22+2|y1y2|

≥

4|y1y2|

=

60c2

，
∴

60c2

=2

15

?c=1，a=2，b=

3

．
橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)PB方程為y=k（x-m），代入

x2

4

+

y2

3

=1
得（4k²+3）x²-8k²mx+（4m²k²-12）=0，
設(shè)B（x₁，y₁），E（x₂，y₂）則A（x₁，-y₁），
直線AE的方程為y-y₂=

y2+y1

x2-x1

（x-x₂），令y=0得x=

y2x1+x2y1

y1+y2

，
又y₁=k（x₁-m），y₂=k（x₂-m）代入上式得x=

2x1x2-m(x1+x2)

x1+x2-2m

，
而x₁+x₂=

8k2m

4k2+3

，x1x2=

4m2k2-12

4 k2+3

代入得x=

4

m

，
所以AE過(guò)軸上定點(diǎn)（

4

m

，0），
要使AE過(guò)橢圓焦點(diǎn)則

4

m

=±1．
所以m=±4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系以及平面向量，兩點(diǎn)間的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，運(yùn)算求解能力及創(chuàng)新意識(shí)．