Question

已知f（x）=x²-x+c定義在區(qū)間[0，1]上，x₁、x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂，
求證：
（1）f（0）=f（1）；
（2）|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₁-x₂|；
（3）|f（x₁）-f（x₂）|＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接計算f（0）和f（1）即可；
（2）由于|f（x₂）-f（x₁）|=|x₂-x₁||x₂+x₁-1|．故只要證明|x₂+x₁-1|＜1即可；
（3）將|f（x₂）-f（x₁）|=|f（x₂）-f（1）+f（0）-f（x₁）|，再利用絕對值不等式的性質進行放縮即得．
解答：證明：（1）f（0）=c，f（1）=c，
∴f（0）=f（1）．
（2）|f（x₂）-f（x₁）|=|x₂-x₁||x₂+x₁-1|．
∵0≤x₁≤1，∴0≤x₂≤1，0＜x₁+x₂＜2（x₁≠x₂）．
∴-1＜x₁+x₂-1＜1．
∴|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|．
（3）不妨設x₂＞x₁，由（2）知
|f（x₂）-f（x₁）|＜x₂-x₁．①
而由f（0）=f（1），從而
|f（x₂）-f（x₁）|=|f（x₂）-f（1）+f（0）-f（x₁）|≤|f（x₂）-f（1）|+|f（0）-
f（x₁）|＜|1-x₂|+|x₁|＜1-x₂+x₁．②
①+②得2|f（x₂）-f（x₁）|＜1，
即|f（x₂）-f（x₁）|＜．
點評：本題主要考查不等式的證明，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、某些已經證明過的不等式及不等式的性質經過一系列的推理、論證等而推導出所要證明的不等式，這個證明方法叫綜合法．