Question

設(shè)函數(shù),已知和為的極值點.

(Ⅰ)求和的值;

(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(Ⅲ)設(shè),比較與的大小.

Answer 1

（1）,.

       （2）在和上是單調(diào)遞增的;在和上是單調(diào)遞減的.

       （3）(1)且時

(2) 或時,

解析:

(Ⅰ)因為,

又和為的極值點,所以,

因此解該方程組得,.

（Ⅱ）因為,,所以,

令,解得,,．

因為當時,;

當時,．

所以在和上是單調(diào)遞增的;在和上是單調(diào)遞減的.

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知,

故,令，則.

令,得,因為時,,

所以在上單調(diào)遞減.故時，;

因為時,,所以在上單調(diào)遞增.

故時,.

所以對任意,恒有,又時,,

因此且時,

或時,

所以,   (1)且時

(2) 或時,

【注:】按以下做法不扣分(以下是高考命題人給的原解)這種解法不太嚴謹,但也被大部分人所接受

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知,

故,令,則.

令,得,因為時,,

所以在上單調(diào)遞減.故時,;

因為時,,所以在上單調(diào)遞增.

故時,.

所以對任意,恒有,又,因此,

故對任意,恒有