Question

（2012•淄博二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

1

2

，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）圓x²+y²=1的一條切線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，問是否存在上述直線l使

OA

•

OB

=0成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由e=

1

2

，得a²=4c²，再由c²=a²-b²，解得a=

2 3

3

b，利用連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4

3

，即可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）假設(shè)存在直線l滿足條件
①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，則方程為x=±1，可得

OA

•

OB

=0不成立；
②斜率存在時(shí)，假設(shè)方程為y=kx+m，由直線與圓相切可得m²=1+k²，直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由e=

1

2

，得a²=4c²，再由c²=a²-b²，解得a=

2 3

3

b①．
由連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4

3

，可知2ab=4

3

②．
①②可得a=2，b=

3

．
所以橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）假設(shè)存在直線l滿足條件
①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，則方程為x=±1
當(dāng)方程為x=1時(shí)，直線l與橢圓的交點(diǎn)為A（1，

3

2

），B（1，-

3

2

），則

OA

•

OB

=1-

9

4

=-

5

4

≠0
同理方程為x=1時(shí)，

OA

•

OB

=0也不成立；
②斜率存在時(shí)，假設(shè)方程為y=kx+m，由直線與圓相切可得m²=1+k²，
直線方程代入橢圓方程，消去y，可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

8km

3+4k2

，x₁x₂=

4m2-12

3+4k2

∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

3m2-12k2

3+4k2

∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

4m2-12

3+4k2

+

3m2-12k2

3+4k2

=

-5(k2+1)

3+4k2

＜0
綜上所述，直線l不存在．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．