【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的長軸長為4,焦距為2

(1)求橢圓C的方程;
(2)過動點(diǎn)M(0,m)(m>0)的直線交x軸于點(diǎn)N,交C于點(diǎn)A,P(P在第一象限),且M是線段PN的中點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q,延長QM交C于點(diǎn)B.
①設(shè)直線PM,QM的斜率分別為k,k′,證明 為定值;
②求直線AB的斜率的最小值.

【答案】
(1)

解:橢圓C: =1(a>b>0)的長軸長為4,焦距為2 .可得a=2,c= ,b= ,

可得橢圓C的方程: ;


(2)

解:過動點(diǎn)M(0,m)(m>0)的直線交x軸于點(diǎn)N,交C于點(diǎn)A,P(P在第一象限),設(shè)N(﹣t,0)t>0,M是線段PN的中點(diǎn),則P(t,2m),過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q,Q(t,﹣2m),

①證明:設(shè)直線PM,QM的斜率分別為k,k′,

k= = ,k′= =﹣ ,

= =﹣3.為定值;

②由題意可得 ,m2=4﹣ t2,QM的方程為:y=﹣3kx+m,

PN的方程為:y=kx+m,

聯(lián)立 ,可得:x2+2(kx+m)2=4,

即:(1+2k2)x2+4mkx+2m2﹣4=0

可得xB= ,yB= +m,

同理解得xA= ,

yA= ,

xB﹣xA= = ,

yB﹣yA= +m﹣( )=

kAB= = = ,由m>0,x0>0,可知k>0,

所以6k+ ,當(dāng)且僅當(dāng)k= 時取等號.

此時 ,即m= ,符號題意.

所以,直線AB的斜率的最小值為:


【解析】(1)利用已知條件求出橢圓的幾何量,即可求解橢圓C的方程;(2)①設(shè)出N的坐標(biāo),求出PQ坐標(biāo),求出直線的斜率,即可推出結(jié)果②求出直線PM,QM的方程,然后求解B,A坐標(biāo),利用AB的斜率求解最小值.;本題考查橢圓方程的綜合應(yīng)用,橢圓方程的求法,直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識,掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:

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④命題,使得的否定是,都有”;

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正確的是__________

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