Question

已知數(shù){a_n}滿足a₁=1，a_n=2a_n-1+1（n≥2）
①求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列．
②求a_n的表達(dá)式．
③若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n．

Answer 1

分析：①題目給出了數(shù)列的首項(xiàng)及遞推式，求解通項(xiàng)公式時(shí)，首先把遞推式變形，變?yōu)槲覀兪煜さ臄?shù)列，求出新數(shù)列的通項(xiàng)公式后再求原數(shù)列的通項(xiàng)，對(duì)于a_n+1=pa_n+q型的遞推式，兩邊加上一個(gè)常數(shù)，一般能夠構(gòu)造成等比數(shù)列{a_n+x}．本題a_n=2a_n-1+1兩邊加上常數(shù)1，構(gòu)造成等比數(shù)列{a_n+1}
②由①，求出數(shù)列{a_n+1}的通項(xiàng)公式，移向變形得出a_n的表達(dá)式．
③由②應(yīng)得出a_n=2ⁿ-1．分組后分別運(yùn)用等比、等差數(shù)列求和公式即可求得S_n．

解答：解：①由a_n=2a_n-1+1，兩邊加上常數(shù)1，可得a_n+1=2a_n-1+2=2（a_n-1+1），
故可得

an+1

an-1+1

=2，故數(shù)列{a_n+1}為公比為2的等比數(shù)列，
②數(shù)列{a_n+1}的首項(xiàng)為：a₁+1=2，由①可得數(shù)列{a_n+1}的通項(xiàng)公式為
a_n+1=2×2^n-1，所以a_n=2ⁿ-1．
③S_n=（2¹-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2¹+2²+…+2ⁿ）-n
=

2(1-2n)

1-2

-n
=2ⁿ⁺¹-2-n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)列遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式，考查等比、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式．對(duì)于a_n+1=pa_n+q型的遞推式，一般能夠造成{a_n+x}型的等比數(shù)列，屬中檔題．