Question

10．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$夾角為$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow b$|=2，對任意x∈R，有|$\overrightarrow b$+x$\overrightarrow a$|≥|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|，則|t$\overrightarrow b$-$\overrightarrow a$|+|t$\overrightarrow b$-$\frac{\overrightarrow a}{2}$|（t∈R）的最小值是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{13}}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$

Answer 1

分析 由題意對任意x∈R，有$|\overrightarrow b+x\overrightarrow a|≥|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$，兩邊平方整理．由判別式小于等于0，可得（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{a}$，運用數(shù)量積的定義可得即有|$\overrightarrow{a}$|=1，畫出$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow$，建立平面直角坐標系，設(shè)出A，B的坐標，求得|t$\overrightarrow b$-$\overrightarrow a$|+|t$\overrightarrow b$-$\frac{\overrightarrow a}{2}$|的坐標表示，運用配方和兩點的距離公式，結(jié)合三點共線，即可得到所求最小值．

解答 解：向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$夾角為$\frac{π}{3}$，$|\overrightarrow b|=2$，對任意x∈R，有$|\overrightarrow b+x\overrightarrow a|≥|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$，
兩邊平方整理可得x²$\overrightarrow{a}$²+2x$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-（$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）≥0，
則△=4（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）²+4$\overrightarrow{a}$²（$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）≤0，
即有（$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）²≤0，即為$\overrightarrow{a}$²=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，
則（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{a}$，
由向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$夾角為$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow b$|=2，
由$\overrightarrow{a}$²=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|•cos$\frac{π}{3}$，
即有|$\overrightarrow{a}$|=1，
則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{3}$，
畫出$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow$，建立平面直角坐標系，如圖所示；
則A（1，0），B（0，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{a}$=（-1，0），$\overrightarrow$=（-1，$\sqrt{3}$）；

∴$|t\overrightarrow b-\overrightarrow a|+|t\overrightarrow b-\frac{\overrightarrow a}{2}|$=$\sqrt{{（1-t）}^{2}{+（\sqrt{3}t）}^{2}}$+$\sqrt{{（\frac{1}{2}-t）}^{2}{+（\sqrt{3}t）}^{2}}$
=$\sqrt{{4t}^{2}-2t+1}$+$\sqrt{{4t}^{2}-t+\frac{1}{4}}$=2（$\sqrt{（t-\frac{1}{4}）^{2}+（0-\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}$+$\sqrt{（t-\frac{1}{8}）^{2}+（0+\frac{\sqrt{3}}{8}）^{2}}$
表示P（t，0）與M（$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），N（$\frac{1}{8}$，-$\frac{\sqrt{3}}{8}$）的距離之和的2倍，
當M，P，N共線時，取得最小值2|MN|．
即有2|MN|=2$\sqrt{（\frac{1}{4}-\frac{1}{8}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{8}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查斜率的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，考查轉(zhuǎn)化思想和三點共線取得最小值，考查化簡整理的運算能力，屬于難題．