Question

甲乙兩隊(duì)參加知識(shí)競(jìng)賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分．假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為

2

3

，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為

2

3

，

2

3

，

1

2

且各人正確與否相互之間沒(méi)有影響．用X表示甲隊(duì)的總得分．
（Ⅰ）求隨機(jī)變量X分布列
（Ⅱ）用A表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，求P（AB）．

Answer 1

分析：（1）由題意可得X～B（3，

2

3

），利用公式P（X=i）=

C

i 3

(

2

3

)i(

1

3

)3-i（i=0，1，2，3）即可得到分布列．
（2）由A表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，B表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，可知AB表示甲對(duì)贏得3場(chǎng)或2場(chǎng)．利用相互獨(dú)立事件和互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出．

解答：解：（1）由題意可得X～B（3，

2

3

），P（X=i）=

C

i 3

(

2

3

)i(

1

3

)3-i（i=0，1，2，3）．
其分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	1 27	2 9	4 9	8 27

∴Eξ=3×

2

3

=2．
（2）由A表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，B表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，可知AB表示甲對(duì)贏得3場(chǎng)或2場(chǎng)．
∴P（AB）=(

2

3

)3×(1-

2

3

)2×(1-

1

2

)+

C

2 3

×(

2

3

)2×(1-

2

3

)×[

2

3

×(1-

2

3

)×(1-

1

2

)×2+(1-

2

3

)2×

1

2

]
=

34

243

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二項(xiàng)分布列及其數(shù)學(xué)期望、相互獨(dú)立事件和互斥事件的概率計(jì)算公式，屬于難題．