Question

四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的概率為（　�。�

• A、

  5

  7

• B、

  7

  10

• C、

  24

  35

• D、

  47

  70

Answer 1

分析：先利用組合求出10個(gè)點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)的所有的基本事件個(gè)數(shù)；利用分類(lèi)討論的方法求出取出的四點(diǎn)在一個(gè)平面上的所有的基本事件個(gè)數(shù)；利用對(duì)立事件求出不共面的所有的基本的事件個(gè)數(shù)；利用古典概型概率公式求出這四個(gè)點(diǎn)不共面的概率．

解答：解：10個(gè)點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)的取法為C₁₀⁴=210種
只要求出共面的就可以了
共面的分三種情況：
①、四個(gè)點(diǎn)都在四面體的某一個(gè)面上，每個(gè)面6個(gè)點(diǎn)，有 C₆⁴=15種，四個(gè)面共有4*15=60種情況．
②、其中三點(diǎn)共線(xiàn)，另一個(gè)點(diǎn)與此三點(diǎn)不在四面體的某一個(gè)面上，而在與此三點(diǎn)所在直線(xiàn)異面的那條直線(xiàn)的中點(diǎn)，
顯然只有6種情況（因?yàn)樗拿骟w只有6條邊）．
③、其中兩點(diǎn)所在直線(xiàn)與另兩點(diǎn)所在直線(xiàn)平行，且這四個(gè)點(diǎn)也不在四面體的某一個(gè)面上，畫(huà)圖可得出只有3種情況．
因此，取四個(gè)不共面的點(diǎn)的不同取法共有：210-60-6-3=141
所以這四個(gè)點(diǎn)不共面的概率為

141

210

=

47

70

故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用排列、組合求完成事件的方法數(shù)、考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法、考查對(duì)立事件的概率的求法．