Question

|AB|=|x_A-x_B|表示數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)的距離，它也可以看作滿(mǎn)足一定條件的一種運(yùn)算．這樣，可以將滿(mǎn)足下列三個(gè)條件的一個(gè)x與y間的運(yùn)算p（x，y）叫做x，y之間的距離：條件一，非負(fù)性p（x，y）≥0，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x=y；條件二，交換律p（x，y）=p（y，x）；條件三，三角不等式p（x，z）≤p（x，y）+p（y，z）．
試確定運(yùn)算是否為一個(gè)距離？是，證明；不是，舉出反例．

Answer 1

【答案】分析：要說(shuō)明s（x，y）是否為距離，只要驗(yàn)證它是否滿(mǎn)足三條即可．即滿(mǎn)足條件一，非負(fù)性p（x，y）≥0，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x=y；條件二，交換律p（x，y）=p（y，x）；條件三，三角不等式p（x，z）≤p（x，y）+p（y，z）．
解答：解：①等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)|x-y|=0，即x=y，第一條滿(mǎn)足
②s（x，y）===s（y，x），第二條也滿(mǎn)足
③s（x，z）=
∵函數(shù)f（x）==1-（或）在（0，+∞）上單調(diào)增，且|x-z|≤|x-y|+|y-z|
∴s（x，z）≤=+
≤+=s（x，y）+s（y，z），第三條也滿(mǎn)足．
總之，s（x，y）是距離．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、綜合法與分析法、絕對(duì)值不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．