Question

已知偶函數f （x），對任意x₁，x₂∈R，恒有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2x₁x₂+1，求
（1）f （0）的值；
（2）f （x）的表達式；
（3）令，求F（x）在（0，+∞）上的最值．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接令x₁=x₂=0得：f（0）=-1；同樣x₁=0，x₂=1得：f（1）=0；令x₁=x₂=1得：f（2）=3；
（2）直接根據f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）+2x（-x）+1以及f（x）=f（-x），f（0）=-1即可求出f（x）；
（3）先由f（x）的解析式，再利用配方法結合指數函數的單調性即可得到F（x）在（0，+∞）上的最值．
解答：解：（1）令x₁=x₂=0，則有f（0）=f（0）+f（0）+1，故f（0）=-1
（2）令x₁=x，x₂=-x，則有f（x-x）=f（x）+f（-x）-2x²+1=-1
又∵f（x）為偶函數，故f（x）=f（-x），代入上式可得：f（x）=x²-1
（3）∵f（x）=x²-1，
∴，
∵（x²-2）²-1≥-1，
∴當a＞1時，F （x）的最小值為，最大值不存在
當0＜a＜1時，F （x）的最大值為，最小值不存在
點評：本題主要考查函數奇偶性與單調性的綜合．解決第一問的關鍵在于賦值法的應用．一般在見到函數解析式不知道而要求具體的函數值時，多用賦值法來解決．