Question

定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x），（i）對(duì)任意x，y∈（-1，1）都有：f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)；（ii）當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f（x）＞0，回答下列問題．
（1）判斷f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并說明理由．
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲說明f（x）在（-1，1）上是奇偶性，只需說明f（-x）與f（x）的關(guān)系，先令x=y=0求出f（0），然后令y=-x，即可求出所求；
（2）先設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，然后作差求f（x₁）-f（x₂），，根據(jù)題目條件進(jìn)行化簡變形判定其符號(hào)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判定．

解答：解：（1）令x=y=0?f（0）=0，令y=-x，則f（x）+f（-x）=0?f（-x）=-f（x）?f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)．
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，則f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(

x1-x2

1-x1x2

)，而x₁-x₂＜0，0＜x1x2＜1?

x1-x2

1-x1x2

＜0?f(

x1-x2

1-x1x2

)＞0．即當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的判定與證明，以及函數(shù)奇偶性的判定，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在定義域上的“整體”性質(zhì)，單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．