設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且2Sn=2-bn，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a5=14，a7=20．若cn=an•bn，n=1，2，3，…．試判斷cn+1與cn的大小，并證明你的結(jié)論．
【答案】分析：先根據(jù)2Sn=2-bn求出b1，然后根據(jù)n≥2時(shí)，，從而得到，所以{bn}是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，求出{bn}的通項(xiàng)，然后根據(jù)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式，最后根據(jù)cn=an•bn，然后判定cn+1-cn的符號(hào)可得所求．
解答：解：由2Sn=2-bn，當(dāng)n=1時(shí)，…（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，
所以{bn}是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，且…（7分）
數(shù)列{an}為等差數(shù)列，所以公差 …（10分）
又    
因?yàn)閚=1，2，3，…所以5-6n＜0則cn+1-cn＜0
所以  cn+1＜cn…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，以及等式數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列與不等式的綜合，同時(shí)考查了利用作差法比較大小，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意n∈N*，總有an，Sn，an2成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，且bn=
lnnx
a
2
n
，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈（1，e]（e是常數(shù)，e=2.71828…）和任意正整數(shù)n，總有Tn＜2；
（3）正數(shù)數(shù)列{cn}中，an+1=（cn）n+1（n∈N*），求數(shù)列{cn}中的最大項(xiàng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有an=5Sn+1成立，記bn=
4+an
1-an
 （n∈N*）
（1）求數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）記cn=b2n-b2n-1 （n∈N*），設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：對(duì)任意正整數(shù)n都有Tn＜
3
2
；
（3）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Rn，是否存在正整數(shù)k，使得Rk≥4k成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)k；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的n∈N*，總有an，Sn，an2成等差數(shù)列．
（1）求a1；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，且bn=
1an2
，求證：對(duì)任意正整n，總有Tn＜2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列a1=1，an+1=an2+4an+2，
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)bn=
1
an+1
+
1
an+3
，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和Sn．試證明：Sn＜1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•重慶三模）已知函數(shù)f(x)=
x
1-x
，若數(shù)列{an}滿足an=f(an+1)(n∈N*)，且a1=1．
（I）求證：數(shù)列{
1
an
}是等差數(shù)列；
（II）令bn=anan+1（n∈N*），設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求使得Sn＜
9
10
成立的n的最大值．

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