Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：當 n=2k-1（k∈N^*）時，a_n=n；當n=2k（k∈N^*）時，a_n=a_k；記
（1）求s₃；
（2）證明：s_n=4^n-1+s_n-1（n≥2）
（3）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意中S_n的表達式寫出S₃，即s₃=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈，進而由數(shù)列的通項公式可得可得各項的值，相加可得答案；
（2）將S_n分解為奇數(shù)項的和與偶數(shù)項和兩部分，分別化簡計算可得S_n=），前一部分為等比數(shù)列前n項的和，代入計算可得答案；
（3）由（2）知s_n-s_n-1=4^n-1，依次可得s_n-1-s_n-2=4^n-2，s_n-2-s_n-3=4^n-3 …s₂-s₁=4，將各式相加可得s_n=2+=），進而對其求倒數(shù)可得，即將放大為，由等比數(shù)列前n項和公式計算可以得到證明．
解答：解：（1）s₃=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈=a₁+a₁+a₃+a₁+a₅+a₃+a₇+a₁
=4a₁+2a₃+a₅+a₇=4×1+2×3+5+7=22…（4分）
（2）證明：
=）
=）
=）
=4^n-1+s_n-1…（9分）
（3）由（2）知s_n-s_n-1=4^n-1，于是有：s_n-1-s_n-2=4^n-2，s_n-2-s_n-3=4^n-3 …s₂-s₁=4
上述各式相加得：s_n-s₁=4+4²+…+4^n-1
s_n=2+=），
∴
∴）
=1-…（15分）
點評：本題綜合考查數(shù)列與不等式，解題需特別注意，而不是前n項的和．