5.(重點中學(xué)做)在△ABC中,A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足$\frac{c}{cosC}$=$\frac{a+b}{cosA+cosB}$
(1)求角C的大。
(2)若c=4,求a+b的最大值.

分析 (1)利用正弦定理化簡已知可得:$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$,整理可得sin(C-A)=sin(B-C),利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得2C=A+B,即可解得C的值.
(2)由余弦定理可得:16=(a+b)2-3ab,又:ab≤($\frac{a+b}{2}$)2,解得$\frac{1}{4}$(a+b)2≤16,從而解得:a+b≤8.

解答 (本題滿分為12分)
解:(1)∵$\frac{c}{cosC}$=$\frac{a+b}{cosA+cosB}$,
∴利用正弦定理可得:$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$,
∴sinCcosA+sinCcosB=sinAcosC+sinBcosC,即:sinCcosA-sinAcosC=sinBcosC-sinCcosB,
∴sin(C-A)=sin(B-C),
∴C-A=B-C或C-A=π-(B-C)(不成立),或C-A=-π-(B-C)(不成立),即2C=A+B,可得:C=$\frac{π}{3}$…6分
(2)由余弦定理可得:c2=a2+b2-2abcosC,
可得:16=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,
又:ab≤($\frac{a+b}{2}$)2
可得:16≥(a+b)2-3($\frac{a+b}{2}$)2,即$\frac{1}{4}$(a+b)2≤16…10分
可得:(a+b)2≤64.
解得:a+b≤8…11分
故a+b的最大值為8…12分

點評 本題主要考查了正弦定理,余弦定理,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),基本不等式的應(yīng)用,考查了分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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