Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PB與AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）當平面PBC與平面PDC垂直時，求PA的長．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得ACAC⊥BD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得PA⊥BD，綜合線面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC
（II）以O為坐標原點，OB、OC所在直線及過點O且與PA平行的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系O-xyz，分別求出PB與AC的方向向量，代入向量夾角公式，可得答案．
（III）分別求出平面PBC與平面PDC的方向向量，根據(jù)平面垂直則其法向量也垂直，構(gòu)造方程，求出參數(shù)值，可得PA的長．
解答： 證明：（I）因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．
又因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD，
又∵PAPAPAPAPAPA∩AC=A，PA，AC?平面PAC
所以BD⊥平面PAC． …4分
解：（Ⅱ）設AC∩BD=O．
因為∠BAD=60°，PA=AB=2，所以BO=1，AO=CO=．
如圖，以O為坐標原點，OB、OC所在直線及過點O且與PA平行的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系O-xyz，則
P（0，-，2），A（0，-，0），B（1，0，0），C（0，，0）．
所以=（1，，-2），=（0，2，0）．
設PB與AC所成角為θ，則 cosθ==₌． …8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知=（-1，，0）．
設P（0，-，t） （t＞0），則=（-1，-，t）．
設平面PBC的法向量=（x，y，z），則•=0，•=0．
所以
令y=，則x=3，z=，
所以m==（3，，），．
同理，可求得平面PDC的法向量=（3，-，），．
因為平面PBC⊥平面PDC，所以•=0，即-6+=0．解得t=．
所以當平面PBC與平面PDC垂直時，PA=． …12分
點評：本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，直線與平面垂直的性質(zhì)，直線與平面垂直的判定，其中建立空間坐標系將直線與平面的位置關系問題，轉(zhuǎn)化為向量問題是解答的關鍵．