Question

將(

x

+

3	x

)12的展開(kāi)式中各項(xiàng)重新排列，使含x的正整數(shù)次冪的項(xiàng)互不相鄰的排法共有多少種？（　�。�

A．A₁₃³?A₁₃¹⁰

B．A₁₀¹⁰+A₁₁³

C．A₁₃⁴?A₉⁹

D．A₁₀¹⁰?A₁₁³

Answer 1

分析：根據(jù)題意，寫(xiě)出(

x

+

3	x

)12的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)_r+1=C₁₂^rx

36-5r

6

，分析可得在其展開(kāi)式中，含x的正整數(shù)次冪的項(xiàng)共3項(xiàng)，不含x的正整數(shù)次冪的有10項(xiàng)；用插空法先將不含x的正整數(shù)次冪的10項(xiàng)進(jìn)行全排列，可得11個(gè)空位，在其中任取3個(gè)，安排3個(gè)含x的正整數(shù)次冪的項(xiàng)；由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，(

x

+

3	x

)12的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)_r+1=C₁₂^r（

x

）^12-r（

3	x

）^r=C₁₂^rx

36-5r

6

，其中共13項(xiàng)，
若

36-5r

6

為正整數(shù)，則r的值可以為0、4、6，即其展開(kāi)式中，含x的正整數(shù)次冪的項(xiàng)共3項(xiàng)，其他的有10項(xiàng)，
先將不含x的正整數(shù)次冪的10項(xiàng)進(jìn)行全排列，有A₁₀¹⁰種情況，
排好后，有11個(gè)空位，在這11個(gè)空位中，任取3個(gè)，安排3個(gè)含x的正整數(shù)次冪的項(xiàng)，有A₁₁³種情況，
共有A₁₀¹⁰•A₁₁³種情況；
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查排列、組合的運(yùn)用以及二項(xiàng)式定理，關(guān)鍵是分析出其展開(kāi)式中含x的正整數(shù)次冪的項(xiàng)的數(shù)目，進(jìn)而用插空法解題．