Question

已知y=f（x）（x∈D，D為此函數(shù)的定義域）同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①函數(shù)f（x）在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②如果存在區(qū)間[a，b]⊆D，使函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]，那么稱y=f（x），x∈D為閉函數(shù)．請(qǐng)解答以下問(wèn)題：
（1）判斷函數(shù)f（x）=1+x-x²（x∈（0，+∞））是否為閉函數(shù)？并說(shuō)明理由；
（2）求證：函數(shù)y=-x³（x∈[-1，1]）為閉函數(shù)；
（3）若y=k+

x

(k＜0)是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）可判斷函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)不單調(diào)，由閉函數(shù)的定義可作出判斷；
（2）按照閉函數(shù)的定義只需證明兩條：①在定義域內(nèi)單調(diào)；②該函數(shù)值域也為[-1，1]；
（3）由y=k+

x

是（0，+∞）上的增函數(shù)，知其符合條件①；
設(shè)函數(shù)符合條件②的區(qū)間為[a，b]，從而有

a=k+ a b=k+ b

，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程x=k+

x

有兩個(gè)不等非負(fù)實(shí)根，利用二次方程根的分布知識(shí)可得k的限制條件；

解答：解：（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間(-∞，

1

2

]上單調(diào)遞減，在(

1

2

，+∞)上單調(diào)遞增；
所以，函數(shù)在定義域上不是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減函數(shù)，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)．
（2）先證y=-x³符合條件①：對(duì)于任意x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，
有y1-y2=x23-x13=(x2-x1)(x22+x1x2+x12)=(x2-x1)[(x2+

1

2

x1)2+

3

4

x12]＞0，
∴y₁＞y₂，故y=-x³是R上的減函數(shù)．
又因?yàn)閥=-x³在[-1，1]上的值域是[-1，1]．
所以函數(shù)y=-x³（x∈[-1，1]）為閉函數(shù)；
（3）易知y=k+

x

是（0，+∞）上的增函數(shù)，符合條件①；
設(shè)函數(shù)符合條件②的區(qū)間為[a，b]，則有

a=k+ a b=k+ b

；
故a，b是x=k+

x

的兩個(gè)不等根，即方程組為：

x2-(2k+1)x+k2=0 x≥0 x≥k

有兩個(gè)不等非負(fù)實(shí)根；
設(shè)x₁，x₂為方程x²-（2k+1）x+k²=0的二根，則

△=(2k+1)2-4k2＞0 x1+x2=2k+1＞0 x1x2=k2≥0 k＜0

，
解得：-

1

4

＜k＜0
∴k的取值范圍(-

1

4

，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是理解新定義，并利用新定義求參數(shù)的值．