Question

△ABC中，AD為角平分線，E為AD的中點(diǎn)，BE交AC于F，若

AB

=

a

，

AC

=

b

且|

a

|=2，|

b

|=1，用

a

、

b

表示

AD

，

BE

，

BF

．

Answer 1

分析：先利用角平分線定理得

BD

=

2

3

BC

，進(jìn)而利用向量加法的三角形法則，將

AD

用基底表示，由于E為AD的中點(diǎn)，由向量加法的平行四邊形法則可將

BE

用基底表示，最后用待定系數(shù)法，設(shè)

BF

=λ

BE

=-

5

6

λ

a

+

1

3

λ

b

，再利用A、F、C三點(diǎn)共線，又得

BF

=-

a

+μ

b

，利用向量相等的概念和平面向量基本定理列方程即可解得λ，μ值，從而將

BF

用基底表示

解答：解：由角平分線定理得

AB

AC

=

BD

DC

=2，∴

BD

=

2

3

BC

=

2

3

（

b

-

a

）
∴

AD

=

AB

+

BD

=

a

+

2

3

(

AC

-

AB

)=

1

3

a

+

2

3

b

∴

BE

=

1

2

(

BA

+

BD

)=

1

2

BA

+

1

2

(

AD

-

AB

)=-

1

2

a

+

1

2

(

1

3

a

+

2

3

b

-

a

)=-

5

6

a

+

1

3

b

設(shè)

BF

=λ

BE

=-

5

6

λ

a

+

1

3

λ

b

，又

BF

=

BA

+

AF

=-

a

+μ

AC

=-

a

+μ

b

∴

- 5 6 λ=-1 1 3 λ=μ

，解得

λ= 6 5 μ= 2 5

，
∴

BF

=-

a

+

2

5

b

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，利用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則將平面向量用一組基底表示的方法和技巧