Question

在底面邊長為2，高為1的正四梭柱ABCD=A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為BC，C₁D₁的中點．
（1）求異面直線A₁E，CF所成的角；
（2）求平面A₁EF與平面ADD₁A₁所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D為原點建立空間直角坐標系，求出各點坐標，進而求出異面直線A₁E，CF的方向向量，代入向量夾角公式，可得求異面直線A₁E，CF所成的角；
（2）求平面A₁EF與平面ADD₁A₁的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角的余弦值．

解答：解：以D為原點建立空間直角坐標系
（1）A₁（2，0，1），E（1，2，0），C（0，2，0），F(xiàn)（0，1，1）

A1

E=(-1，2，-1)，

CF

=(0，-1，1)，
設異面直線A₁E，CF所成的角為θ，則
|

A1E

•

CF

|=|

A1E

|•|

CF

|cosθ，
即3=

6

•

2

•cosθ
解得cosθ=

3

2

解θ=

π

6

，
所以，所求異面直線的夾角為

π

6

（2）

A1F

=(-2，1，0)，設平面A₁EF的法向量為

m

=(x，y，z)，則

-x+2y-z=0 -2x+y=0

，
令x=1，則平面A₁EF的一個法向量為

m

=(1，2，3)，
平面ADD₁A₁的一個法向量為

n

=(0，1，0)，
設平面A₁EF與平面ADD₁A₁所成銳二面角為α，則
由

m

•

n

|=|

m

|•|

n

|cosα，
即2=

14

•1•cosα
解得：cosα=

14

7

故平面A₁EF與平面ADD₁A₁所成銳二面角的余弦值為

14

7

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，用空間向量求直線間的夾角，建立空間坐標系，將空間異面直線夾角問題及二面角問題轉化為向量夾角問題是解答的關鍵．