Question

已知函數(shù)f(x)=

sin4x+cos4x+sin2xcos2x

2-sin2x

-

1-cosx

4sin2 x 2

（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性．
（2）當x∈(

π

6

，

π

2

)時，求函數(shù)f（x）的值域．
（3）若

a

=(sinα，1)，

b

=(cosα，1)并且

a

∥

b

，求f（α）的值．

Answer 1

分析：先把f（x）利用同角三角函數(shù)間的基本關系、二倍角公式等進行化簡，
（1）要判斷函數(shù)的奇偶性，方法是在函數(shù)的定義域內(nèi)求出f（-x）如果等于-f（x）即為奇函數(shù)；如果等于f（x）即為偶函數(shù)；
（2）由x的范圍求出2x的范圍，由正弦函數(shù)的圖象得到sin2x范圍即可得到f（x）的值域；
（3）由兩個向量平行得到sinα-cosα=0，求出α的值，代入f（x）化簡可得f（α）的值即可．

解答：解：f(x)=-

(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2x

2-sin2x

-

2sin2 x 2

4sin2 x 2

=

1- 1 4 sin22x

2-sin2x

-

1

2

=

(1- 1 2 sin2x)(1+ 1 2 sin2x)

2(1- 1 2 sin2x)

-

1

2

=

1

4

sin2x．
（1）因為函數(shù)f（x）的定義域為{x|x∈R且x≠2kπ，k∈Z}，f（-x）=-f（x）所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）當x∈(

π

6

，

π

2

)時，2x∈（

π

3

，π），函數(shù)中sin2x的最大值為1，最小值為0且取不到，所以f（x）的最大值為

1

4

，最小值為0，所以f（x）的值域為(0，

1

4

]；
（3）由

a

∥

b

得sinα-cosα=0，
∴

2

（

2

2

sinα-

2

2

cosα）=

2

sin（α-

π

4

）=0，
所以α-

π

4

=kπ，解得α=kπ+

π

4

，
∴f（α）=

1

4

sin2α=

1

4

sin（2kπ+

π

2

）=

1

4

sin

π

2

=

1

4

．

點評：此題是一道綜合題，考查學生靈活運用同角三角函數(shù)間的基本關系及三角函數(shù)中的恒等變換進行化簡求值，靈活運用平面向量積的坐標表示．要求學生靈活運用所學的知識解決數(shù)學問題．