Question

已知函數(shù)f(x)=2acos2x+

3

asin2x+a+b，x∈[0，

π

2

]，值域[-5，1]，求常數(shù)a、b的值．

Answer 1

分析：先將函數(shù)化簡成f(x)=2asin(2x+

π

6

)+2a+b，∵0≤x≤

π

2

，∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，再進(jìn)行分類討論即可．

解答：解：f(x)=2acos2x+

3

asin2x+a+b
=a(1+cos2x)+

3

asin2x+a+b
=acos2x+

3

sin2x+2a+b
=2asin(2x+

π

6

)+2a+b
∵0≤x≤

π

2

∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
當(dāng)a＞0時(shí)

2a+2a+b=1 -a+2a+b=-5

       

a=2 b=-7

當(dāng)a＜0時(shí) 

-a+2a+b=1 2a+2a+b=-5

          

a=-2 b=3

∴a=2，b=-7或a=-2，b=3

點(diǎn)評：本題是三角函數(shù)中的逆向應(yīng)用問題，解題時(shí)先將函數(shù)化簡，再利用角的范圍確定三角函數(shù)的值域，應(yīng)注意分類討論．