Question

如圖，橢圓C: x ²＋3 y ²＝3b²  (b＞0).

(Ⅰ) 求橢圓C的離心率；

(Ⅱ) 若b＝1，A，B是橢圓C上兩點(diǎn)，且 | AB | ＝，求△AOB面積的最大值.

 

Answer 1

本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分15分。

(Ⅰ)解：由x²＋3y²＝3b²  得 ，

所以e＝＝＝＝．                      …………5分

(Ⅱ)解：設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，△ABO的面積為S．

如果AB⊥x軸，由對(duì)稱性不妨記A的坐標(biāo)為(，)，此時(shí)S＝＝；

如果AB不垂直于x軸，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m，

由 得x²＋3(kx＋m) ²＝3，

即 (1＋3k²)x²＋6kmx＋3m²－3＝0，又Δ＝36k²m²－4(1＋3k²) (3m²－3)＞0，

所以  x₁＋x₂＝－，x₁ x₂＝，

(x₁－x₂)²＝(x₁＋x₂)²－4 x₁ x₂＝，   ①

由 | AB |＝及 | AB |＝得

(x₁－x₂)²＝，                           ②

結(jié)合①，②得m²＝(1＋3k²)－．又原點(diǎn)O到直線AB的距離為，

所以S＝，

因此 S²＝＝[－]＝[－(－2)²＋１]

＝－(－2)²＋≤，

故S≤．當(dāng)且僅當(dāng)＝2，即k＝±1時(shí)上式取等號(hào)．又＞，故S _max＝．

                                                      …………15分