Question

如圖，已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的俯視圖是邊長為3的正方形，側(cè)視圖是長為3寬為的矩形．
（1）求該四棱柱的體積；
（2）取DD₁的中點E，證明：面BCE⊥面ADD₁A₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）可得底面ABCD是矩形，側(cè)面ABB₁A₁與底面垂直，過A₁作底面垂線的垂足是AB的中點，故體積V=S_ABCD×h，代入數(shù)據(jù)計算可得；（2）連接CD₁，由△CDD₁是正三角形可得CE⊥DD₁，由線面垂直的性質(zhì)可得AD⊥CE，可判CE⊥面ADD₁A₁，由面面垂直的判定可得結(jié)論．
解答：解：（1）由題意可得四棱柱的底面ABCD是矩形，側(cè)面ABB₁A₁與底面垂直，
過A₁作底面垂線的垂足是AB的中點，
所以四棱柱的體積V=S_ABCD×h=AB×AD×h
==…（6分）
（2）連接CD₁，依題意△CDD₁是正三角形，所以CE⊥DD₁，
又AD⊥面CDD₁C₁，CE?面CDD₁C₁，所以AD⊥CE，
因為AD∩DD₁=D，所以CE⊥面ADD₁A₁，
因為CE?面BCE，面BCE⊥面ADD₁A₁…（12分）
點評：本題考查平面與平面垂直的判定，涉及幾何體的體積的求解，屬中檔題．