Question

（理）設是平面上的兩個向量，若向量與相互垂直，
（1）求實數λ的值；
（2）若，且，求α的值（結果用反三角函數值表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意及平面向量的數量積運算法則進行化簡，由α的范圍，得到sinα不為0，再由λ大于0，根據化簡后的關系式即可求出λ的值；
（2）把第一問求出的λ的值代入的坐標確定出此向量，然后利用平面向量的數量積運算法則化簡，可得出cos（α-β）的值，由α與β的范圍得出α-β的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出sin（α-β）及tan（α-β）的值，再由α=（α-β）+β，利用兩角和與差的正切函數公式化簡后，將各自的值代入求出tanα的值，即可得出α的度數．
解答：解：（1）由題設，得，
即，
所以，（λ-1）²sin²α-sin²α=0，
即λ（λ-2）sin²α=0
因為，
∴sin²α≠0，又λ＞0，
所以λ-2=0，即λ=2；
（2）由（1）知，，
∴，
又，
∴，
∵，則，
∴，
∴，
又，
∴．
點評：此題考查了平面向量數量積的運算，利用數量積判斷兩向量的垂直關系，兩角和與差的余弦、正切函數公式，以及同角三角函數間的基本關系，學生做題時特別注意角度的范圍及靈活變換．