Question

①如圖中△ABC，若AB、BC在平面α內，判斷AC是否在平面α內.

②“線段AB在平面α內，直線AB不全在平面α內”這一說法是否正確，為什么？

③如果一條直線過平面內一點與平面外一點，那么它和這個平面有幾個公共點？說明道理.

④“平面α與平面β只有一個公共點”，這一說法是否正確？說明道理.

Answer 1

解析①∵AB在平面α內，

∴A點一定在平面α內.

∵BC在平面α內.

∴C點一定在平面α內.

∴點A、點C都在平面α內.

∴直線AC在平面α內(公理1).

②不正確.

∵線段AB在平面α內

∴線段AB上的所有點都在平面α內，

∴線段上的A、B兩點一定在平面α內，

∴直線AB在平面α內(公理1).

③這條直線和這個平面只有一個公共點.

假如這條直線和這個平面有兩個公共點，根據公理1可得，這條直線上所有的點都在這個平面內，推得這條直線過平面外的一點也在這個平面內.這與已知矛盾.這說明直線與這個平面有兩個公共點是不可能的，所以，這條直線與這個平面只有一個公共點.

④不正確.

∵根據公理3知，如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他的公共點，且所有這些公共點的集合是一條通過這個公共點的直線.

∴可知平面α與平面β有無數個公共點.

∴“平面α與平面β只有一個公共點”這一說法不正確.